CONJUNTO UNITARIO
En la
teoría de conjuntos se define como conjunto unitario a aquel que está
formado por un solo elemento.
Las
propiedades con las que cuenta un conjunto unitario son:
La cardinalidad, el número de elementos distintos que posee un conjunto, es uno. Esto significa que independientemente del número de objetos que tenga el conjunto si todos son iguales entonces su cardinalidad es uno y se trata de un conjunto unitario.
La
intersección entre dos conjuntos unitarios es el conjunto vacío o un conjunto
unitario.
Si dos
conjuntos tienen un solo elemento en común su intersección es un conjunto
unitario.
Si A es
un subconjunto de B con cardinalidad diferente de 0 y B es un conjunto
unitario, B es subconjunto de A, es decir A y B son el mismo conjunto.
Solamente
tiene dos subconjuntos, el conjunto vacío y él mismo.
Un conjunto
formado por un conjunto es un conjunto unitario, aunque su elemento no sea
un conjunto unitario.
Ejemplo
de Conjunto Unitario:
El
conjunto de Satélites naturales del planeta Tierra es un conjunto unitario
formado por la Luna.
El
conjunto de mamíferos que nacen en un huevo es un conjunto unitario formado por
el ornitorrinco.
El
conjunto de electrones que tiene un átomo de hidrógeno es un conjunto unitario
formado por un electrón.
El
conjunto formado por el conjunto de números naturales del 1 al 10, es un
conjunto unitario formado por el conjunto de números naturales del 1 al 10.
El
conjunto {5 +2, 8 – 1, 7} es un conjunto unitario cuyo único elemento es el
número 7.
Si A =
{1, 3, 5, 7, 9} y B = {3, 10, 15} entonces la intersección entre A y B es el
conjunto unitario {3}.
Si A =
{1, 5, 6,8} y B = {{1, 5, 6 8}}, entonces B es un conjunto unitario cuyo único
elemento es el conjunto A.
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El
conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe
el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se
estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio
muestral).
Por
ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el
conjunto queda:
U={ 1,
2, 3, 4, 5 }
Forma
alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:
Conjunto
de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la
letra N donde
N={ 1,
2, 3, .... }
Conjunto
de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde
Z={...,
-2, -1, 0, 1, 2, ... }
Conjunto
de números racionales (números que se representan como el cociente de dos
números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
Conjunto
de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente
de dos números enteros) representados por la letra I.
Conjunto
de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir
todos, representados por R.
Todos
estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de
simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los
conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder
trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.
Por
ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60.
Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que
caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.
Para
indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:
{
x/x Î N ; x<60 }
En esta
expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números
naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.
Ahora
si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser
representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea
expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la
manera siguiente:
{ x/x Î Z
; -20 £ x £ 30 }
También
se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no
pertenencia a uno diferente, por ejemplo
L={ 1,
3, 4, 6, 9 }
P={
x/x Î N ; X Ï L }
En el
conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a
los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.
Diagramas de Venn
¿Qué
son los diagramas de venn?
Los diagramas
de Venn son ilustraciones utilizadas en la teoría de conjuntos, para
mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando
cada conjunto mediante un círculo o un óvalo.
